はじめまして、Panda51さん(^_^)。
H-2といいます。
よろしくお願いします<(_ _)>。

まとまりが無い文章で恐縮ですが(^_^;)、御質問に対する個人的な回答を記載します。


質問１の回答
＞H-2さん、いったい福岡県警SATは第何機動隊に所属しているのでしょうか？

結論から申し上げると、福岡県警SATは第一機動隊に所属しているようです。
福岡県警の第二機動隊は北九州市に隊舎があり、第二機動隊に所属する車両は「北九州」のナンバープレートを付けています。
また、福岡県警の第一機動隊は福岡市に隊舎があり、所属車輌は「福岡」ナンバーです。
SAT専用の車輌として「銃器対策警備車」という車輛があります。
この車両は福岡県警にも配備されており、「福岡」のナンバープレートが付いています。
つまり、銃器対策警備車は第一機動隊の所属であり、この車両を運用する福岡県警SATも第一機動隊に所属している事になります。
ただし、これをWIKIに記載すると「独自研究」に該当するかも知れません(^_^;)。
WIKIに掲載できない話は、この掲示板に書き込んでいます。

質問２の回答
＞確かにSATの装備や訓練施設は国費で賄われていますが、疑問なのは「警察庁警備局の指揮下」という点です。SATは8都道府県警察の警備部に所属しており、指揮系統で言えば8都道府県警察警備部のはずです。もしよろしければ出典はございますでしょうか。

これも「独自研究」に該当する話題です(^_^;)。
明確な出典はありません。ですから、この掲示版で記載しています。
SAT各隊の具体的な指揮は、都道府県警察の本部長や警視総監、警備部が行うと思います。ですが、SATの隊員を訓練などの目的で海外に派遣したり、警備などの目的で他の県に応援派遣する場合、都道府県警察の一存だけではできません。警察庁の総合的な判断が必要になります。

また、2007年に愛知県長久手町で発生した立てこもり事件では、愛知県警SATの隊員が死亡していますが、この隊員の死亡後に、警察庁は愛知県警SATを事件の現場から撤収させています。
当時の愛知県警幹部があまりにも無能だったので、警察庁が業を煮やした、といったところなのでしょうが、警察庁は県警本部を無視して、愛知県警SATを現場から移動させています。この事からも、警察庁とSATが密接な関係にあることが推測されます。

さらに愛知県長久手町の事件の後、警察庁に特殊部隊支援班（スリーエス）が発足しました。
WIKIの「特殊急襲部隊」の項目にも記載されていますが、特殊部隊支援班はSATが出動した場合、現場の対策本部と本部長（警視総監）の元に派遣され、警察庁との連絡やSATの運用に関する助言を行う組織です。
創設の経緯から見ても特殊部隊支援班は、都道府県警察が行うSATの指揮を「監視」し、不適切な指揮を行っていれば、警察庁が指揮に介入するための制度です。

SATは都道府県警察の所属なのですが、具体的な運用や指揮に警察庁がここまで介入するのは異例です。
SATは警察の「切り札」として、それだけ重要な任務を担当しているのだと思います。

質問３の回答
＞SATを始めとする警察官には法律知識がございますでしょうか？

警察官が法律を知らないと、逮捕や捜索差押など法律の執行ができません。
新人とベテランで知識量に差はあるでしょうが、仕事をする上での法律知識は持っているのではないかと思います。
ただし弁護士や検事、裁判官レベルの法律知識はさすがに持っていないでしょうし、必要とされていません。

質問４の回答
＞過去のトピを拝読させていただきましたら、「脱北した北の工作員が日本のダムをテロ攻撃の対象にしていたと証言」とありますので、検索かけましたがどこにもそのようなものを見かけません。何か出典はございますでしょうか。

2013年5月29日のＭＳＮ産経ニュースに記述があったと思います。
元の記事は見れないと思うので、概要を記載します。

脱北した人民軍の元幹部らの証言によると、開戦直前に日本全国の原発に対して特殊工作員を送り込んで自爆テロを起こす計画を策定しているという。現に朝鮮労働党の機関紙は、原発への攻撃によって、日本が「広島・長崎の核の惨事とは比べものにならない被害」を受けると警告している。
もともと国内には２万人もの北朝鮮工作員がいるとされ、「有事の際に政府施設、自衛隊と在日米軍基地、原発やダム、新幹線、主要幹線道路、空港などで破壊工作を行うよう訓練されている」という。

このような情報を受けて、近年はダムを対象としたテロ対策訓練も行われているようです。