マンデルブロー図の発生
＜カオスとの共振＞

今、問題にしているのは、何故、意識が生まれるのかということです。その答えが複素関数だということを、実例を挙げて検証してみたいのです。

それを検証するためには、マンデルブローが教えてくれたように複素関数を使って自然界の様々な形が発生する様子を示すことではないかと思うのです。マンデルブローがやったと同じやり方で、形を生成するアルゴリズムを浮き彫りにすれば、意識の発生も複素関数が潜んでいると言えるのではないでしょうか。

続いてカオスのページhttp://homepage3.nifty.com/y_sugi/ch/ch10.htmを編集して引用しました。

マンデルブロー集合図の「発生」から見ていきます。マンデルブロー集合図の「発生」が「意識の発生」であると言えるのかどうかですが、それはこの共振シリーズを見てからのお楽しみです。

既に、マンデルブロー集合図の作り方を見てきたわけですが、コンピューターにお任せして結果だけを見たわけです。それでは関数の知性=イデアの知性を見たことにはなりませんし、直感を取り戻すことも出来ないでしょう。そこで、もう少し、その内部を見ていくことにしましょう。

マンデルブロー集合図の式はz = z2+cでしたね。このzにz2+c の値を繰り返し代入すると、つまり、「畳み込む」とc の点がマンデルブロー集合図になっていくのです。意味があるのはその過程にあります。その過程こそが、四次元性あり、連続が切断されるという空のダイナミズムがあるのです。畳み込まれたものが空を介して再び、現象化して出てくるのですのですから、単なる、三次元現象の因果的な連続とは違うのです。空のダイナミズムとは、イデア的な知性であり、あたかも生物の発生や意識の発生を思わせるのです。

マンデルブロー集合図は複素平面上のzの絶対値が一定値(例えば2)を超えるまでの回数で点cの色を決めることにより作成します。しかし、ここでは回数ではなくて値そのもの(絶対値 |z|)で色を決めて図を作成することにします。

「回数」ではな「値」でプロットしても、次第にマンデルブロー集合図に近くなります。例えば、次の図は4回目の図形です。等高線の並ぶこの図形は中心では小さな値であり、外側は大きな値でモアレ縞のような複雑な図形となって現れます。


外側の複雑な模様を単純化するためにzではなくtan-1z を使用するとシンプルな図形になります。tan-1zというのは、三角関数tan（z）の逆数です。

更に係数を特殊なものにすると驚くべき図形を得ることができるのです。その図形によると粘土細工やガラス細工的な過程を経て、マンデルブロー集合図が作られていく様子が明らかになるでしょう。同じ4回目の図形を単純化した図を下に示します。


外側から伸びている黒い棒状のものをペンチやピンセットと見立ててみましょう。それが各部分を引っ張って形を作っているように感じられるでしょう。

簡単な計算z2+cを2〜3回繰り返せば、違った図にもなります。例えば、花の絵になるのです。しかも花びらは少し不揃いで中心には芯があり、昆虫が蜜を吸っているようにも見えるのです。いかにも自然と数式の間には不思議な関係があることを暗示していそうです。

モアレ縞の図を単純化したケースでは、ペンチやピンセットのようなものを考えましたが、実はこれは花びらの縁なのです。そう思わせる図形を示します。



この花の図とペンチやピンセットの図との違いは、ペンチやピンセットではtan-1zのｚを 6/π の係数を使用しましたが、花の図ではそれをわずかに大きい値にして描画範囲を広くしただけです。

秋桜(コスモス)に似た花の形が数の秩序から生まれていることを示しているのです。秩序ある調和のとれた体系である宇宙もcosmosと呼ばれているのですから、まさに、関数の知性をイデアの知性というに相応しいのではないでしょうか。

ペンチやピンセットの図に話を戻します。この図が発生する過程を最初から順番に見ていくと、まるで生物の胚が細胞分裂して形を作っていくような感覚になります。そのため人間の意識が、マンデルブロー集合図の「発生」のように、「発生」したのではないかという思を強くするのです。では、その発生の過程を見て行きましょう。

最初の形の発生は、畳み込が一回です。上下にピンセットが２本あります。



上下から軽く挟まれ、押しつぶされているように見えますが、細胞分裂の2個になる直前のようにも見えます。細胞がなぜ分裂するのかは不思議としか言いようがありませんが、この図のように上下から押しつぶすピンセットの力が働くのでしょうか。

このような形は四次元能では四次元の宇宙サイクルの原型となったHH天体の図http://www.cosmiclight.com/imagegalleries/stars.htmにも似ています。


この宇宙サイクルの図はマクロからミクロまで一貫してあるというのが、ティトムが発見した形ですが、それがマンデルブローで現れるのですかから吃驚仰天です。下の図は数理科学美術館入口http://morigon.jp/subi.htmlから引用しました。水素の電子軌道http://www.yk.rim.or.jp/~ans/SUBI/kyu.htmlを見てください。


正四面体重合を繰り返して出来た鉄原子の構造にもこのような形があります。



最初の畳み込みで、このような形が出てくるのですから、この後はどうなるのでしょうか。

二回目の畳み込を見てみましょう。ピンセットが４本あり、左右に引っ張って伸ばされています。細胞分裂では4個になった状態です。


三回目の畳み込みを見てみましょう。ピンセットが８本あり、上下左右の4方向に引っ張って伸ばされています。左側は強く引っ張られ、左右非対称が生じています。


四回目の畳み込みを見てみましょう。ピンセットが１６本あり、更に2倍の部分が引っ張って伸ばされています。引きちぎられたように見える部分もあります。


五回目の畳み込みを見てみましょう。ピンセットが３２本あり、相当複雑な形になってきました。

六回目の畳み込みを見てみましょう。ピンセットが６４本あり、マンデルブロー集合図らしき形になってきました。


七回目の畳み込みを見てみましょう。ピンセットが１２８本あり、これ以降はピンセットの本数を実際に確認したわけではありませんが、複雑さはましてきました。


八回目と九回目の発生は省略して、十回目の畳み込みを見てみましょう。ピンセットが１０２４本あり、殆どマンデルブロー集合図です。


如何でしょうか。マンデルブロー集合図は畳み込みを繰り返すことで、複雑さを増していくのです。一回の畳み込みで倍の複雑な図形になるようです。これが無限に続くわけですから、どこまで拡大しても複雑な図形が現れるのも当然でしょう。