量子力学の発見現場（３）プランクの式
＜プラトンとの共振＞

イデア科学の可能性を信じるために、その発生の現場に行ってみることになりました。量子力学が発見された過程を知ることは、自他共振を考える上でも大変面白いでしょう。時代を遡って量子力学が発見された時代とは19世紀末のことです。「量子論が生まれたキッカケ」を参照してください。http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/relativity/contents/relativity300.html

以下、編集して引用しました。

レイリーの赤の公式でもダメ、ウィーンの青の公式でもダメとなると、由々しき事態ではすまなくなってきたのでした。物理学者の面子にかけても、解決しなければならなくなってきたことでしょう。そういう空気を読んでかどうかは定かではありませんが、巧く現れたのが量子力学の扉を開いたと言われるプランクです。

彼は長年、この「黒体放射の問題」に取り組んでいたのですが、ある時、ウィーンの式の分母から1を引くと実験結果と非常によくあることに気付いたのです。実際は彼の助手だということです。

プランクはその成果を発表しましたのですが、当初はその成果がどんな意味を持っているのかについて気付く人はそれほどいなかったようです。

プランク自身にも、その式が持つ意味がわかっていなかったと言われているようですし、もしかすると、お父さんは、大変な発見をしたのかもしれないと、娘に言ったとか言わないとかでから、半信半疑だったのでしょう。

今では大発見だったと分かるのですが、それにしても、どうしてこのような大発見が、生まれたのでしょうか。助手が数式をいじくり回しているうちに見つけたのでしょうか。単なる偶然だったのでしょうか。エックス線やペニシリンの発見は、多分にそういうところがありますが、式となると、そんなことは有り得ないと思うのです。

普通に考えるなら、何かに比例していたり反比例していたりすると考えるでしょう。実際に、ウィーンもレイリーも温度や振動数に関係しているというのは分かっていたからこそ、そのような式を作ったのです。

分母から1を引くなんてことは、普通は考えられないのでしょう。それが「普通に考えると」という素人の発想の限界なのです。

単に、式をいじくっていたのではないと思うのです。明確に、他の何かと共通する点があると読んで、プランクは助手に探させていたと思うのです。つまり、がらっと発想を転換したのです。従来の物理学の延長で考えると、その前提に縛られますから、主語論理からに抜け出すことは出来ません。そこで、逸脱をしたのです。どんな逸脱かと言うと、それは述語的発想転換するということです。

それは、メタファーの説明をすれば分かるでしょう。メタファーとは、ある「物事」を説明するのに、全く違う領域の違う「物事」を持ってきて、述語の共通性を、イメージさせて説明するやり方です。「雪のように白い」は、白い肌を説明するために、隠喩として「雪」を持ってきているのです。

これを、一般化すれば、全く別の領域からヒントを持ってくるというやり方です。違う領域の述語的な属性を比較してそれを、当てはめるというのは述語的に同一視するといいます。これを発明の方法として理論化したのが等価変換理論です。等価変換理論については「銀河の回転は周縁でも落ちない(１)」を参照してください。
http://www.c-player.com/ad00178/thread/1100092126515

以下、編集して引用しました。

ティトム的想像とは四次元能がいうところの述語的に発想するという意味です。述語的に発想するという意味が理解しにくければ、市川亀久弥氏が提唱した創造の科学「等価変換」が、その理解を助けてくれるでしょう。「等価変換」についてはhttp://www.bii.ne.jp/~manda39/2tieF/4aideaF/ett.htmlを参照してください。

等価変換とは、簡単に言えば、ある現象の特定する述語的な価値・要素を取り出し、それと等価/同一である述語的な価値・要素に変換して、それを含む別の現象に変換するというものです。例えば、アメンボというのは、胴体を手足によって漕ぐという生物現象です。ここから船を魯によって漕ぐという、つまりボートという力学現象を想像するというものです。メタファー的に言えばアメンボのようなボートです。アメンボの述語は「胴体を手足によって漕ぐ」であり、ボートは「船を魯によって漕ぐ」です。共に漕ぐという述語を同一化すれば、アメンボ＝ボートとなります。これが、これまで何度となく四次元能が述べてきた野生の思考の基本である述語論理です。
―――

プランクは、述語的等価変換的発想によって、数学の別の分野における等比級数から、「あること」を想像したのではないでしょうか。「あること」とは、等比級数には、必ず分母に1が出てくるということです。これをウィーンの式に持ち込んだらどうなるかと考えたのです。ウィーンの式は、指数式(関数)が入っていましたから、これを等比級数にすることはたやすいことだったのです。

プランクの式は、ウィーン式＝等比級数と同一視して考えたのです。これが等価変換なのです。ここまで気がつけば、－１を持ち込むのは簡単なことでしょう。

等比級数というのはどんな数列なのでしょうか。簡単に説明しますと、等比級数(数列）というのは、同じ比率で変化する数の列という意味です。例えば 4,12,36,108という数列では、隣同士の比が3倍になっています。これの総和を式で表すと、等比の数に対して総和数の分を冪乗した数から１を引いて、それに最初の数を掛けて、それを、等比から１を引いた数で割ります。

つまり、a(r*n+1-1)/r-1となります。この式には「－１」が出てきています。

上の例では、a=４,r=3ですから、分子は4(3*3+1-1)=4(81-1)=4(80)=320となり、分母は3-1=2ですから、答えは160となるでしょう。検算して見ましょう。4+12+36+108=160となり、当たり前ですが一致しました。

そこまで理解できれば、後は、何故、等比級数には「－１」が出てくるのかということになるでしょう。普通は、こんな式のー１に注意は向かないのですが、何故か、ウィーンの式と等比級数の和とを比較すると、－１があるかないかだけの違いなのです。ここに気づいただけでもコロンブスの卵と言ってよいでしょう。

ですから、何故、等比級数には「－１」が出てくるのかは、とても意味が深いのです。まるで、プランクがそのように思ったかのような説明をしていますが、当てにはなりません。少なくとも、述語的な発想をしたことだけは間違いがないと思います。主語論理ではこうはいかないからです。

そこで、等比級数を一般化して、その数列の第n項までの和を求めることにします。

一般的な等比級数は、最初の数を a，公比を r とすると、
a, ar, ar2, ar3,　……　, arn-1,　……
となり、この数列の和は、
Sn=a+ar+ar2+ar3+　……　+arn-1　

となります。この式は途中を……で表しているので、完全ではありません。そこで、完全な式を求めて見ましょう。この求め方はテクニックにすぎないので、どうこう言うことはありません。

まず、先の式の全体に、r を掛けます。すると、
rSn=　ar+ar2+ar3+　……　+arn-1+arn
となります。そして先の式からこの式を引きます。
Sn=a+ar+ar2+ar3+　……　+arn-1
rSn=　ar+ar2+ar3+　……　+arn-1+arn
-)
―――――――――――――――――――――――――――
　　（１－ｒ）Sn＝a-arn

となります。

あら不思議、数列の端を残して間がすっぽりと消えてしまいました。数学でも手品を使うようです。

これで、（１－ｒ）Sn＝a-arnという答えを得ました。後は (1-r) で割って、Snを求めればよいでしょう。ただし、条件付となります。

r≠1のとき、Sn =a(1-rn)/1-r
r=1 のとき Sn=na

如何でしょうか。r≠1のときの場合、1-rとなっていますが、分子をrn-1とすれば、分母もr-1としても良いでしょう。

プランクが等比数列に着目したのは、奇跡であり、コロンブスの卵であり、明晰夢の効果、述語的直感としか言いようがありません。普通なら、エネルギーの式を求めるのには、積分した式を考えるところですから、こうにはならないのです。積分しないで、足し合わせる(級数を計算する)方を選んだということは、プランクの明晰夢による啓示がそうさせたのでしょうか。

プランクの式

光の強さ＝係数×振動数の三乗／（指数式－１）

指数式＝e＊係数・振動数／温度
(＊は次の数値が冪を意味します。)



プランクの式の面白いのは、指数式の冪の値がいろいろな値をとることで、－１が生きたり、死んだりして、それがウィーンの式になったり、レイリーの式になったりするところです。

振動数が十分に大きいときには、指数式の値が大きな値となるので、－１は無視できるでしょう。ですから、光の強さ＝係数×振動数の三乗／指数式となり、ウィーンの式と同じになります。

一方、振動数が十分に小さいときには、指数の部分はeのない式で近似できます。

e*x=1+x+1/2!x*2+1/3!x*3+1/4!x*4+…
ｘは、eの肩（*）にかかる冪数であり、この場合、ｘ＝係数(振動数／温度)です。

振動数が小さいと、1/2!x*2以降はゼロに近くなるので無視できるのです。

それで、指数式＝１＋係数(振動数／温度)＋・・・・となります。

従って、光の強さ＝係数・振動数の三乗／（１＋係数(振動数／温度)＋・・・・－１）となりますので、結局、光の強さ＝係数・振動数の三乗／係数(振動数／温度)＝係数・温度・振動数の二乗となり、レイリー・ジーンズの式と同じ形になります。これで、不思議と山全体が観測値とぴったりと合ってしまうのです。


少し混乱してきたようですので、要約しておきます。

レイリーの式＝赤の公式＝係数・振動数＊２・温度
ウィーンの式＝青の公式＝係数・振動数＊３／e＊(係数・振動数／温度)
プランクの式＝係数・振動数＊３／｛e＊(係数・振動数／温度)－１｝
プランクの式を変形すると、
振動数＞温度のとき－１が無視できる→ウィーンの式
振動数＜温度のときe近似式＝１＋係数・振動数／温度＋・・・・→係数・振動数＊３／（係数・振動数／温度）＝係数・温度・振動数＊２→レイリーの式

この式は、単に、レイリーとウィーンの式を、張り合わせたかのような印象に見えますが、まあ、とにかく、実験結果と一致したわけですから、めでたしなのですが、この式の持つ意味は、これで終わったわけではなかったのです。

もっと大きな仰天が待っていたのです。大体エネルギーのように、山型に連続した現象については、その範囲を積分することが普通でしょう。つまり、面積を求めることが答えを求めることなのです。

積分(小さな部分を足しこむ)がきくということはエネルギーが連続しているということを前提しているのです。これを級数で計算するということは、どういうことになるのでしょうか。

積分は、小さな領域を計算して、それを拡大し、積算していきます。それは、例えば、池の面積を測る場合を想像すれば分かるでしょう。先ず、小さく区分すれば四角形になりますから、簡単になります。後は、力仕事です。池の周りに多少凸凹があっても、小さく区分することで問題はなくなります。それは池が連続しているからです。

ところが、もし、池が連続していなかったらどうなるでしょうか。湿地帯のようなものです。それども、かまわずに積分してしまうと、池でないところも計算されてしまうので、大分誤差が出るでしょう。もし、エネルギー分布が、池のように、不連続だったらどうなるでしょうか。

つまり、エネルギーが不連続だということは、最小単位が存在するということを意味しているのです。エネルギーの缶詰なのです。

水は川を流れるときは、文字通り、連続しています。しかし、水滴になるとどうでしょうか。粒になってしまいます。エネルギーも同様なのです。

このエネルギーが、缶詰＝水滴であるとすると、不連続であるということです。これが、事実であるとすると、当時としては、その物理学はトンデモとなってしまうのでした。

しかし、そのトンデモが物理におけるひとつの転機、量子力学のはじまりなのだったのですが、当時、それに気がついた人は誰もいなかったのです。