悪魔の階段（４）平坦な坂道
＜四次元能版新世紀エヴァンゲリオン：複素化ツールの臨床＞

悪魔の階段
http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Icho/2404/math_devil04.html



関数としての「悪魔の階段」を簡単に説明すると、連続でないように見えるけれども連続している直線であるという矛盾した即非的な関数ということになるでしょう。

例えば、東名高速道路の日本坂トンネルhttp://www.youtube.com/watch?v=y4tPKjXM12wのような平坦だけど平坦ではない道路のイメージだと思えばよいでしょう。

物理現象として有名な悪魔の階段はシャピロステップ（モードロック：共鳴現象）と言われる現象です。

物理の世界の悪魔の階段（シャピロ・ステップ）はどのようにして起きるのでしょうか。

超伝導の現象を覗いてみましょう。

二つの超伝導体で薄い絶縁体をサンドイッチにした素子をジョセフソン素子と言います。

この絶縁体を間にはさんだこの素子は電圧をかけなくてもトンネル効果によって二つの超伝導体間に電流が流れます。

これをジョセフソン効果といいます。

一方、エネルギーを与えると電圧が変化して、それに比例した周波数の振動電流が発生します。

この後の方が悪魔の階段といわれるシャピロ・ステップという不思議な現象になります。

要点を纏めると次のようになります。
１：トンネル効果（ジョセフソン効果）：電圧をかけなくても⇒電流が流れる⇒絶縁体状態から導体に変わる
２：シャピロ・ステップ：エネルギーを与える⇒電流が流れる⇒悪魔が現れる

１の「ジョセフソン効果」を応用したものがジョセフソン素子であり、そのスイッチング速度が従来のシリコン半導体より速いため、シリコン素子を超える夢のコンピュータの高速素子として期待されています。

ここで問題とするのは、２のシャピロ・ステップの方です。

シャピロ・ステップを起こすためには、外部から、エネルギーを加える必要があります。

つまり、高周波やマイクロ波を照射する必要があるのです。そうすると悪魔の階段が発生するのです。

シャピロ・ステップを具体的にイメージしておきましょう。下のような階段状の変化が悪魔の階段なのです。http://unit.aist.go.jp/nano-ele/super-dev/SNS/index.htm#Anchor-35882


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この悪魔の階段はどうして生まれるのでしょうか。

そのためには、ジョセフソン接合について理解しなければなりません。

二つの超伝導体を弱く結合させてやると絶縁体が間にあるにもかかわらず、そのバリアをトンネルして超伝導体の間に電流が流れることをジョセフソン効果、このように超伝導体を弱く結合させた素子をジョセフソン接合と呼ぶといいました。
　　　　　　　　　　　　
ジョセフソン接合の電圧と電流の関係が問題となるのです。

ジョセフソン接合を流れる超伝導電流をジョセフソン電流とも言いますが、下の図はジョセフソン電流の流れる様子です。
http://www.si.hirosaki-u.ac.jp/~ei_dev/sce/index2
から引用しました。


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縦軸が電流で、横軸は電圧です。

この図から分かるように、ある一定の電流値までは電圧が発生しないで電流（ジョセフソン電流）が流れています。それ以上の電流が流れると電圧が発生しています。

言い換えれば、電圧が変化しないにも関わらず電流が流れるということです。

これがジョセフソン効果です。

以下の説明も、弘前大学の超伝導エレクトロニクス
http://www.si.hirosaki-u.ac.jp/~ei_dev/sce/index2
からの引用です。

ジョセフソン電流の値は、最大超伝導電流（臨界電流）×sinφです。

φは二つの超伝導体それぞれの中で超伝導電流を運んでいる対となった電子の波の位相の差を表しています。

超伝導体の中では、対となった電子が一つの大きな波を形成することで電気抵抗がゼロになるという特徴があります。

では、二つの超伝導体の間に薄い絶縁体を挟むとどうなるのでしょうか。

超伝導の説明なので、
http://www.ees.nagoya-u.ac.jp/~web_dai1/superconductor.html#Josephsonから引用しました。

絶縁体を挟んで二つの超伝導体が置かれた素子のイメージを示します。左右の赤と青の領域が二つの超伝導体を示しています。【　】は絶縁体であり、〜は超伝導体１の波、〜は超伝導体２の波を示しています。

超伝導体１絶縁体超伝導体２
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〜〜〜〜【〜】〜〜〜〜（対になった電子）
〜〜〜〜【〜】〜〜〜〜（対になった電子）
――――――――――――

絶縁体は極めて薄い（数ナノメートル程度）ので、それぞれの波が絶縁体を乗り越えて他方の超伝導体にすり抜けます（破線の波にしたいですが）。

別々の超伝導体中の波は実際には「ずれ」ています。この時、この「ずれ」を無くして同じ波にしようとして、一方の超伝導体から他方の超伝導体に電流が流れます。

これがジョセフソン効果の本質です。（ただし直流と交流があります。）

この電流は電圧がかかっていない状態でも流れるため、通常の物質で生じるトンネル効果とは異なり、超伝導体特有の現象です。
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弘前大学の超伝導エレクトロニクス
http://www.si.hirosaki-u.ac.jp/~ei_dev/sce/index2
の引用に戻ります。

このジョセフソン電流が流れる様子を式で表現すると、周波数f は電圧に比例した周波数=2e/h×電圧となります。　　　　　　　　　

この式を変形すると2e×電圧（Ｖ）＝h×周波数（ｆ）となりますので、このジョセフソン電流という現象は、2eの電荷を持つ電子の対のポテンシャルエネルギー：2eV がエネルギーhf の光子に変換されることを意味しています。

簡単に言えば、ジョセフソン素子に電流が流れるということは、電子（ポテンシャルエネルギー）⇒光子（エネルギー）ということなのです。

これが電圧をかけないでも電流が流れてしまうというジョセフソン効果の特徴です。

次は、エネルギーを外部から与えるとどうなるかです。いよいよ悪魔の階段を発生させる順番です。

ジョセフソン接合に外部から高周波を照射します。すると、この交流超伝導電流と高周波電流が干渉（共鳴）して、電圧＝h/2e×周波数の間隔で、シャピロ・ステップと呼ばれる電流ステップが観測されるのです。



このシャピロ・ステップの原因となる外部エネルギーは、高周波にせよマイクロ波にせよ電磁波ですから光の仲間です。

つまり、光のエネルギーを外部から与えることが電圧を変化させることになるのです。

超伝導体に電圧をかけたことになり、それは電子にエネルギーを与えたことになるのです。

電子にエネルギーを与えると電圧の変化となります。そして、電圧の変化が電流の変化となるのです。

電圧の変化は周波数fの変化と連動しています。それはマイクロ波や高周波の周波数です。

式：周波数=2e/h×電圧を変形すると電圧=h/2e×周波数ですから、電圧は与えられた周波数fと物理定数e, h で決まるということです。

これがシャピロ・ステップ現象の本質を意味しています。しかも、それが悪魔の階段だと言うところが今回のポイントでした。

続く