キエロスさん、コメントありがとうございます。
素晴らしい博識をお持ちで脱帽です。
弦の巻き方をもっと丁寧にして、緩めるときはスローに少しずつやっていこうと思います。アドバイスありがとうございます。

弦の滑りをよくするには、サドルやナットの溝にオイル滴下や４B鉛筆で黒鉛をこすりつけるなどが効果あります。しかし巻き弦でない１弦は滑りやすいので、原因は別でしょう。ペグの近くで切れるというのは、普通の切れ方ですね。クラシックギターのペグは１０ミリφぐらいありますが、フォーク系では４ミリφぐらいですから、弦は完全に塑性変形を受けます。つまり弾性限界を超えているということ。したがって緩めるときにこれを逆変形させて伸ばすことになりますから、破断するのです。
私の推測では、なぜ金属弦のペグは細いのか？の答えとして、テンションに対する伸びがナイロンに比べて少ないので、ペグが太いと、チューニングがシビアになりすぎるために、ペグ径を細くしてあると考えています。
巻き始めで切れるなら、通し穴のエッジがシャープであるかもしれません。巻き終わりで切れるなら、張力が高すぎるということになるので、やはりどこかで引っかかっているのか・・・・というところでしょうか。

キエロスさん、コメントありがとうございます。
私の場合、ペグのすぐ近くで、緩めるときに切れることがほとんどです。
サドルかナットの滑りが悪いとすれば、何か対処方法はあるのでしょうか。

キエロスです。１弦のどこで切れますか？サドル、ピン穴出口、ナット、ペグのどこでしょう。おそらくそれらの場所は弦が弾性限界を超えた塑性変形しているところなので弱いのです。さらに、緩めるとき、ですか？強めるときですか？
塑性変形していることと、滑りが悪いと、テンションを強めるときに切れます。
緩めるときに切れるとすれば、サドルかナットの滑りが悪いこともあります。